Introdução

“Logic is the technique by which we add conviction to truth.”
Jean de la Bruyere

Ciência e Filosofia

A lógica é a ciência da >avaliação sistemática de argumentos em busca do convencimento. A Lógica busca o convencimento, a certeza, na forma dos argumentos e não conteúdo destes argumentos. Busca a verdade pela análise de um argumento em relação a outro, de forma racional, formal e estruturada.

Um pouco de História

O estudo da lógica começa com Aristóteles (384 A.C. –322 A.C.)

Silogismos

Silogismos são estruturas de raciocínio formadas por duas sentenças, chamadas de premissas, ou proposições, e uma conclusão.

Leibniz

Leibniz que além de ajudar no desenvolvimento do cálculo, e dos números binários, definiu os conceitos de conjunção, disjunção, negação e identidade, as operações fundamentais do Cálculo Proposicional.

George Boole, em 1854 >The Laws of Thought apresentando o que conhecemos hoje como Algebra Booleana.

Paradoxo

Paradoxo é uma sentença que não tem a verdade bem definida, se a sentença for verdadeira, o argumento é falso. Se a sentença for falsa, o argumento é verdadeiro.

O paradoxo do mentiroso, que pode ser ligado as escolas gregas de filosofia, pode ser demonstrado com a declaração: esta declaração é falsa.

Bertand Russell

Bertrand Russel (1872 – 1970) pretensiosamente tentou reescrever toda a matemática a partir dos conceitos de conjuntos e fracassou ao encontrar um dos mais famosos paradoxos da história da matemática.

O Paradoxo de Russell

Considere $A$ como o conjunto formado por todos os conjuntos que não contém a si mesmos. De tal forma que: A=\{S|S \notin S\}$

Seria $A$ um elemento de si mesmo? Seria o conjunto $A$ um elemento do conjunto dos conjuntos que não contém a si mesmos?

Cálculo Proposicional

A proposição, é uma declaração, na forma de sentença, que é verdadeira ou falsa.

Exemplos de Proposição (1)

1. Lima é a Capital da China.
2. Paris é a Capital da França.
3. $1+1=2$ .
4. Todos os gatos são animais.

Exemplos de Proposição (1)

1. $p = \text{Lima é a Capital da China.} | p = F$
2. $q = \text{Paris é a Capital da França.} | q = T$
3. $r = \text{1+1=2} | r = F$
4. $s = \text{Todos os gatos são animais.} | s = T$

Exemplos de Proposição (2)

Toda proposição é uma sentença mas, nem toda sentença é uma proposição.

1. Escreva este texto ainda hoje.
2. $x+4=6$

Operador unário

Temos um e apenas um operador unário em cálculo proposicional, o operador de negação representando por $\neg$.

Operadores Binários

Temos quatro operadores binários.

• A conjunção ou operador E (and)
  representado por $\land$ tal que: $(p \land q)$
• A disjunção ou operador Ou (or)
  representado por $\lor$ tal que: $(p \lor q)$
• A condicional, ou implicação
  representada pelo operador $\to$ tal que: $(p \to q)$
• A Bi-condicional ou implicação dupla
  representada pelo operador $\leftrightarrow$ tal que: $(p \leftrightarrow q)$