Frank Coelho de Alcantara -2020
A proposição Todo homem é mortal inclui um conceito que ainda não havia sido explorado nesta disciplina.
Ser homem e ser mortal são qualidades, ou predicados.
Podemos representar esta expressão na forma Todo $H$ é $M$.
Mais interessante, podemos escolher uma variável $x$ para representar um homem qualquer que caiba no conceito Todo homem.
Agora podemos escrever Qualquer que seja $x$, se $x$ é homem, então $x$ é Mortal.
$\forall x(H(x)\rightarrow M(x))$
Chamamos de Cálculo Predicativo, ou de Lógica de Primeira Ordem a lógica que inclui símbolos para indicar qualidades e quantidades.
Aos símbolos de quantidade chamaremos de quantificadores e usaremos, inicialmente $\forall$ e $\exists$.
$\forall$ que leremos como para todo ou qualquer que seja.
$\exists$ que leremos existe ou algum.
O Cálculo Predicativo, ou lógica de Primeira Ordem, fará uso de todas as equivalências e regras de inferência que vimos no Cálculo Proposicional.
O Cálculo Predicativo é uma linguagem e, como tal, precisa de um alfabeto.
$\Sigma_{LPO} = \{\neg, \vee, \wedge, \rightarrow, \leftrightarrow, \{A, B, C, D...\},\{a, b, c, d,...\},\{x, y, z, w,...\}, (, )\}$
Usaremos letras maiúsculas para indicar predicados e letras minúsculas para indicar indivíduos, ou individualidade.
Se for necessário poderemos usar símbolos da matemática para complementar o predicado como: $=$ e $\neq$.
A individualidade pode ser determinada na forma de constantes (um indivíduo especifico) ou de variáveis (uma classe de indivíduos).
Um predicado é uma declaração que contém variáveis, as variáveis predicativas, e podem ser verdadeiros ou falsos dependendo do valor destas variáveis.
$P(x)$ representando $x^2$ é maior que $x$ é um predicado. Ele contém uma variável $x$ e pode ser falso ou, não.
Uma vez que um predicado seja instanciado, ou seja, suas variáveis assumem valores, ele se torna uma proposição.
O domínio de um predicado é definido por todos os valores que suas variáveis possam assumir.
Para $P(x)$ o domínio poderia ser representado por todos os números inteiros, ou reais, ou racionais,...
Procuramos uma lógica que permita expressar:
Procuramos uma lógica que permita expressar sentenças, mais adequadas a linguagem natural. As sentenças possuem sujeito – predicado – objeto
Considere o predicado maior que representado por $MQ$ de variáveis no domínio dos números inteiros.
Podemos definir a fórmula $MQ(x,y)$.
Uma vez que tenha sido instanciado o predicado se torna uma proposição.
$\forall$ é o quantificador universal, lido como para todos ou qualquer que seja. Em um Domínio $D$, para a variável $x$, podemos definir um predicado $P$ verdadeiro por:
$\forall x \in D, P(x)$
Que é uma generalização para expressões do tipo:
$\forall x \in \rm I\!R, (x^2 \geq 0)$
$\exists$ é o quantificador existencial, lido como existe ou existe um ou ainda para algum. Em um Domínio $D$, para a variável $x$, podemos definir um predicado $P$ verdadeiro por:
$\exists x \in D, P(x)$
O predicado $P(x)$ será verdadeiro se existir pelo menos um $x$ que atenda o domínio $D$
O Predicado pássaros $(p)$ são brabos $(B)$ será verdadeiro se $\exists xB(x) $
Domínio: $C$ para coelhos e $Ta$ para tartarugas.
Predicado: $MR$ para mais rápido.
Considere: TODOS os coelhos são mais rápidos que TODAS as tartarugas.
$\forall x \in C \wedge \forall y \in Ta \therefore MR(x,y) \Rightarrow T$
Considere: Existe UM coelho mais rápidos que TODAS as tartarugas.
$\exists x \in C \wedge \forall y \in Ta \therefore MR(x,y) \Rightarrow T$
Fugindo um pouco da matemática e permanecendo na lógica.
$MR(\forall xC(x), \forall y Ta(y))$
$MR(\exists xC(x),\forall y Ta(y))$
Definimos um discurso, ou contexto, ou domínio, como sendo o conjunto de valores com os quais será possível avaliar o valor verdade de uma fórmula. Considere:
Poderemos ter:
Considere o mesmo contexto definido anteriormente:
Poderemos ter:
A explicitação da forma define o conceito representado.
Podemos nos manter no contexto anteriormente definido e extrapolar usando variáveis:
Poderemos ter:
As sentenças definidas por variáveis são chamadas de sentenças abertas.
Considere as seguintes sentenças e tente representar segundo a lógica de primeira ordem.
Sim! Existem expressões sem quantificador.
$M(h)$ representando Hipátia é mulher o predicado ser mulher tem aridade um.
$J(x,y)$ indicando que $x$ é mais novo que $y$ o predicado ser mais novo tem aridade dois.
Paulo ($p$) Ama ($A$) Graça $g$ é representado por $A(p,g)$, e o predicado Amar tem aridade dois.
Não há limites para a aridade de um determinado predicado.
Paulo ama alguém poderia ser representado por $\exists xA(p,x)$.
Qual o significado das seguintes fórmulas? Considerando que $C$ representa o predicado Comprou.
Considere o domínio composto apenas de pessoas.
Considere o domínio composto de qualquer coisa onde Maria só ame pessoas.
Cuidado $\forall x(Pessoa(x)\wedge Ama(Maria,x)$ significa que tudo no universo é uma pessoa e Maria as ama.
Qual o significado das seguintes fórmulas? Considerando que $C$ representa o predicado Comprou.
Defina a fórmula para cada uma das seguintes sentenças, considerando os predicados E para estudante, I para inteligente, C para cursar e A para amar:
Defina a fórmula para cada uma das seguintes sentenças, considerando os predicados E para estudante, I para inteligente, C para cursar e A para amar:
Defina a fórmula para cada uma das seguintes sentenças, considerando os predicados E para estudante, I para inteligente, C para cursar e A para amar:
Defina a fórmula para cada uma das seguintes sentenças, considerando que o domínio é composto de pessoas:
Qual o significado das seguintes fórmulas? Considerando que $C$ representa o predicado Comprou.
Defina a fórmula para cada uma das seguintes sentenças, considerando os predicados E para estudante, I para inteligente, C para cursar e A para amar:
Defina a fórmula para cada uma das seguintes sentenças, considerando que o domínio é composto de pessoas: