Lógica, Proposições Compostas

Frank Coelho de Alcantara -2020

Axiomas Fundamentais da Lógica

Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um desses dois casos, mas nunca um terceiro.

Proposições Compostas

As proposições atômicas, ou simples, são aquelas contidas em si mesmo. Que representaremos por letras $p, q, r, s$.

Proposições compostas são aquelas representadas por uma fórmula lógica. São proposições criadas por proposições atômicas e Oper., ou conectivos.

Oper. Lógicos - AND $(\land)$

Paula compra tijolos e faz casas. é uma proposição composta

$p = $ Paula compra Tijolos

$q = $ Paula faz casas

Será representada por: $p \land q$

Oper. Lógicos - AND $(\land)$

Estudei muito, mas não fui aprovado.

$p = $ Eu estudei muito.

$q = $ Eu não fui aprovado.

Será representada por: $p \land q$

Oper. Lógicos - AND $(\land)$

Estudei muito, contudo não fui aprovado.

$p = $ Eu estudei muito.

$q = $ Eu não fui aprovado.

Será representada por: $p \land q$

Oper. Lógicos - OR $(\lor)$

Sílvia vai ao cinema ou Jéssica vai a Praia.

$p = $ Sílvia vai ao cinema.

$q = $ Jéssica vai a Praia.

Será representada por: $p \lor q$

Oper. Lógicos - negação $(\neg)$

O carro é de qualquer cor menos preto.

Será representada por: $p = \neg p$ o carro não é preto.

Oper. Lógicos - implicação $(\rightarrow)$

Se Janaína é arquiteta então Bruna é médica

$p = $ Janaína é arquiteta.

$q = $ Bruna é médica.

Será representada por: $p \rightarrow q$

Oper. Lógicos - implicação $(\rightarrow)$

No caso da implicação a proposição $p$ é a hipótese, ou antecedente, e a proposição $q$ a conclusão ou consequente.

A operação condicional, ou implicação, indica que $p$ é uma condição para $q$, sem $p$, não há $q$.

$p \rightarrow q$ é lido com p implica em q

Oper. Lógicos - implicação $(\rightarrow)$

$p \rightarrow q$

quando $p$ então $q$;
se $p$, então $q$;
$p$ é suficiente para $q$;
$q$ se $p$;
uma condição necessária para $p$ é $q$;
$p$ sempre que $q$;
$q$ é necessário para $p$.

Oper. Lógicos - bi-implicação $(\leftrightarrow)$

Será aprovado se, e somente se, estudar.

$p = $ Será aprovado.

$q = $ Estudar.

Será representada por: $p \leftrightarrow q$

Oper. Lógicos - Formativo 1

Exercício disponível, clique aqui

Tabelas Verdade

A descoberta da verdade em proposições compostas pode ser facilitado pelo uso de tabelas verdade.

As tabelas verdade são um recurso visual que permite a análise de todos os estados possíveis para cada proposição.

Oper. Lógicos - negação $(\neg)$

Negação
$p$	$\neg$p
$T$	$F$
$F$	$T$

Oper. Lógicos - AND $(\land)$

Conjunção (And, $\land$)
$p$	$q$	$q \land p$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$F$

Oper. Lógicos - OR $(\lor)$

Disjunção (OR, $\lor$)
$p$	$q$	$q \lor p$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$

Oper. Implicação (se..então, $\rightarrow$)

Implicação (se..então, $\rightarrow$)
$p$	$q$	$p \rightarrow q$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$

Se tirar 10 na prova, lhe darei R$1.000,00

A proposição será verdadeira se eu cumprir a promessa. Caso contrário será falsa.
Suponha que você tirou 10 na prova, então $p = T$ e eu mantenho a promessa, logo $q = T$. A proposição é verdadeira.
Suponha que você tirou 10 na prova, então $p = T$ e eu não cumpro a promessa, logo $q = F$. A proposição é falsa.
Suponha que você tirou 8 na prova, se eu lhe dou os R$ 1000,00 não importa por que eu não tive a chance de quebrar a promessa. A proposição é verdadeira.

Oper. Implicação Dupla (se..então, $\leftrightarrow$)

Implicação Dupla (se..então, $\leftrightarrow$)
$p$	$q$	$p \leftrightarrow q$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$

Material de apoio

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