Tabelas Verdade
Tautologias e Contradições
Tabela Verdade - Prática
$p=$ Sílvia é professora.
$q=$ Sílvia é aluna.
Considerando estas duas proposições vamos fazer a tabela Verdade para: $ p\land q $,$ \neg (p\land q) $, $ \neg p \lor \neg q $.
Tabela Verdade - Prática
Como temos duas variáveis $p, q $ e três formulas: $ p \land q $,$ \neg (p\land q) $, $ \neg p \lor \neg q $ nossa tabela terá três colunas e $2^2$ linhas, além da linha de título. E reservaremos as duas primeiras colunas para todos os estados possíveis das duas proposições $p$ e $q$. a cada linha desta tabela daremos o nome de interpretação. Fórmulas com $n$ proposições terão $2^n$ interpretações.
Tabela Verdade - Prática
| $p$ | $q$ | $ p \land q $ | $ \neg (p\land q) $ | $ \neg p \lor \neg q $ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | |||
| $T$ | $F$ | |||
| $F$ | $T$ | |||
| $F$ | $F$ |
Tabela Verdade - Prática
| $p$ | $q$ | $ p \land q $ | $ \neg (p\land q) $ | $ \neg p \lor \neg q $ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | |||
| $F$ | $T$ | |||
| $F$ | $F$ |
Tabela Verdade - Prática
| $p$ | $q$ | $ p \land q $ | $ \neg (p\land q) $ | $ \neg p \lor \neg q $ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | |||
| $F$ | $F$ |
Tabela Verdade - Prática
| $p$ | $q$ | $ p \land q $ | $ \neg (p\land q) $ | $ \neg p \lor \neg q $ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ |
Tabela Verdade - Prática
| $p$ | $q$ | $ p \land q $ | $ \neg (p\land q) $ | $ \neg p \lor \neg q $ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
Conjunção Negada - Nand $\uparrow$
| $p$ | $q$ | $\neg (p \land q)$ | $(p \uparrow q )$ | $ (\neg p \lor \neg q) $ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
$ \neg(p \land q) \equiv (p \uparrow q) \equiv (\neg p \lor \neg q) $
Disjunção Negada - NOR $\downarrow$
| $p$ | $q$ | $\neg(p \lor q)$ | $ (p \downarrow q) $ | $ (\neg p \land \neg q) $ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
$ \neg(p \lor q) \equiv (p \downarrow q) \equiv (\neg p \land \neg q) $
Disjunção exclusiva - XOR $\veebar$
| $p$ | $q$ | $(p \veebar q)$ | $ (p \lor q) \land \neg (p \land q) $ |
|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
$ (p \lor q) \land \neg (p \land q) \equiv (p \leftrightarrow q) \equiv (p \land \neg q) \lor (\neg p \land q) $
Fórmulas Proposicionais
Serão representadas por letras maiúsculas $P, Q, R, T$
Todas as variáveis proposicionais são fórmulas proposicionais.
Se $P$ e $Q$ são fórmulas proposicionais então $\neg P$, $\neg Q$, $(P \land Q)$, $(P \lor Q)$, $(P \rightarrow Q)$ e $(P \leftrightarrow Q)$ também são.
Nada mais é uma Fórmula Proposicional
Fórmulas Proposicionais
A sintaxe de uma fórmula bem formada será determinada pelos conectivos que já vimos (não, ou, e,...).
A semântica será determinada pela Verdade da fórmula. Ou, ser preferir, pelo valor-Verdade.
Para encontrar a Verdade de uma fórmula usamos a Tabela Verdade como ferramenta de cálculo.
Encontrando a Verdade
Para encontrar a Verdade de uma fórmula, repetimos o mesmo procedimento que utilizamos para preencher as tabelas Verdade até o momento. Primeiro, preenchemos todas as combinações possíveis de entrada de acordo com as nossas variáveis, depois, vamos preenchendo as colunas de acordo com as fórmulas.
Lembre-se que o número de combinações possíveis será determinado por $2^n$ onde $n$ representa o número de variáveis.
Exemplo 2: $ (p \rightarrow (q \lor r)) $
Encontre Tabela Verdade para $P \equiv (p \rightarrow (q \lor r)) $
| $p$ | $q$ | $r$ | $ (q \lor r) $ | $ (p \rightarrow (q \lor r)) $ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $ $ | $ $ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $ $ | $ $ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $ $ | $ $ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $ $ | $ $ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $ $ | $ $ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $ $ | $ $ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $ $ | $ $ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $ $ | $ $ |
Exemplo 2: $ (p \rightarrow (q \lor r)) $
Encontre Tabela Verdade para $P \equiv (p \rightarrow (q \lor r)) $
| $p$ | $q$ | $r$ | $(q \lor r)$ | $(p \rightarrow (q \lor r)) $ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $ $ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $ $ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $ $ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $ $ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $ $ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $ $ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $ $ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $ $ |
Exemplo 2: $ (p \rightarrow (q \lor r)) $
Encontre Tabela Verdade para $ (P \equiv (p \rightarrow (q \lor r)) $
| $p$ | $q$ | $r$ | $ (q \lor r) $ | $ (p \rightarrow (q \lor r)) $ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
Exemplo 2: $(p \lor q) \rightarrow (p \land q)) $
Vamos distribuir a tabela por operação, e colocar o resultado na coluna do operador.
| $(p$ | $ \lor $ | $q)$ | $\rightarrow$ | $(p$ | $ \land $ | $q) $ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ |
Árvore sintática
| Tabela Verdade | Árvore Verdade | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Validade e Consistência
- Se $A \equiv T $ para qualquer Interpretação $I$ dizemos que $A$ é verdadeira na interpretação $I$.
- Se $A \equiv T $ segundo uma Interpretação $I$ dizemos que $A$ é consistente.
- Se $A \equiv T $ em todas as suas interpretações dizemos que $A$ é uma tautologia.
Validade e Consistência
| Tabela Verdade | Interpretação | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Validade e Consistência
- Se $A \equiv F $ para qualquer Interpretação $I$ dizemos que $A$ é falsa na interpretação $I$.
- Se $A \equiv F $ segundo uma Interpretação $I$ dizemos que $A$ é inválida.
- Se $A \equiv F $ em todas as suas interpretações $A$ é inconsistente e chamamos de contradição.
Validade e Consistência
| Tabela Verdade | Interpretação | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Validade e Consistência
Uma fórmula que não é TAUTOLOGIA nem CONTRADIÇÃO é denominada fórmula CONTINGENTE ou CONTINGÊNCIA.
Axiomas
- Uma fórmula é inconsistente se, e somente se, sua negação for válida.
- Uma fórmula é inválida se, e somente se, existe pelo menos uma interpretação na qual ela é falsa.
- Uma fórmula é consistente se, e somente se, existe pelo menos uma interpretação na qual ela é verdadeira.
- Se uma fórmula é válida então ela é consistente, mas não vice-versa.
- Se uma fórmula é inconsistente, então ela é inválida, mas a não vice-versa.
Material de apoio
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