Bootstrap e Intervalos de Confiança

O sétimo artigo construiu o objeto central da inferência, a distribuição amostral de uma estatística, e o número que a mede, o erro padrão. Mas deixou um problema em aberto, e é um problema sério: a distribuição amostral é uma construção teórica sobre todas as amostras possíveis, enquanto, na vida real, temos uma única amostra em mãos. Para a média, uma fórmula fechada, $\sigma/\sqrt{n}$, resolve o caso. E para a mediana? Para um quantil? Para o coeficiente de correlação do sexto artigo? Não há fórmula simples de erro padrão para a maioria das estatísticas interessantes.

Este artigo resolve o impasse com uma das ideias mais engenhosas da estatística computacional: o bootstrap. A intuição é quase impertinente na sua simplicidade: se a amostra é a nossa melhor imagem da população, então reamostrar a própria amostra imita o ato de amostrar a população, e a variação entre essas reamostras aproxima a distribuição amostral que não podemos observar. Dessa ideia nasce o intervalo de confiança, o objeto com que a ciência de dados diz mais ou menos isto, com esta segurança. Construímos o bootstrap, o intervalo de confiança por reamostragem e o intervalo analítico clássico para média e proporção, com a interpretação correta declarada sem meias palavras. Usamos os oito salários da equipe e o combinado de sempre: C++23, Python no Colab e um experimento em JavaScript.

1. O princípio do bootstrap

O bootstrap parte de uma troca conceitual ousada. Não conhecemos a população, mas temos a amostra; então usamos a amostra observada como se fosse a população, e simulamos o processo de amostragem reamostrando dela. Se a amostra original tem tamanho $n$, uma reamostra (bootstrap sample) é obtida sorteando $n$ observações dessa amostra com reposição. Como o sorteio é com reposição, uma reamostra pode conter a mesma observação várias vezes e omitir outras, e é justamente essa variação que imita a variação que teríamos ao sortear novas amostras da população. Calculando a estatística de interesse em cada reamostra, obtemos a distribuição bootstrap, uma aproximação empírica da distribuição amostral do sétimo artigo.

A reposição é essencial, não um detalhe. Se reamostrássemos $n$ observações sem reposição de uma amostra de tamanho $n$, recuperaríamos sempre a amostra original apenas embaralhada, e a estatística não variaria nada. É a reposição que gera reamostras genuinamente diferentes: cada uma inclui algumas observações em duplicata e deixa outras de fora. Quantas ficam de fora? A probabilidade de uma observação específica não ser sorteada em nenhum dos $n$ sorteios é $(1-1/n)^n$, que para $n$ grande tende a $e^{-1}\approx0{,}368$. Ou seja, cada reamostra deixa de fora cerca de $37\%$ das observações originais e duplica outras tantas; para a nossa equipe de $n=8$, esse valor é $(1-1/8)^8\approx0{,}344$.

O que torna o bootstrap poderoso é a flexibilidade: a mesma ideia atende médias, medianas, quantis, correlações e muitos estimadores sem derivar uma fórmula para cada um. O método comum, porém, pressupõe que as observações sejam uma boa aproximação empírica de unidades independentes e identicamente distribuídas. Séries temporais, conglomerados, pares e amostras complexas exigem reamostragem que preserve sua estrutura, como bootstrap em blocos, por conglomerados ou por pares. O método paramétrico pode simular de um modelo ajustado quando a distribuição empírica é inadequada.

Também há limitações ligadas à estatística e ao tamanho amostral. Extremos, parâmetros na fronteira, estimadores não suaves, amostras muito pequenas e eventos raros podem produzir distribuições bootstrap incapazes de imitar a distribuição amostral relevante. O método quantifica a variação representada pelos dados e pelo esquema de reamostragem; não corrige cobertura deficiente, não resposta, mensuração ruim nem confusão. Sua generalidade é uma caixa de ferramentas, não uma dispensa de hipóteses.

1.1 Exercícios da Seção 1

1. Gere, à mão, três reamostras de tamanho $5$ com reposição do conjunto ${2,4,6,8,10}$ e calcule a média de cada uma.

Solução:

Sorteando com reposição, uma reamostra possível é ${4,4,8,10,2}$, com média $5{,}6$; outra, ${6,6,6,2,8}$, com média $5{,}6$; outra, ${10,8,8,4,10}$, com média $8{,}0$. As médias variam entre reamostras (aqui, de $5{,}6$ a $8{,}0$) em torno da média original $6$, e é essa variação que estima o erro padrão. Repetições dentro de cada reamostra são esperadas e necessárias.

2. Calcule a probabilidade de uma observação específica não entrar em uma reamostra de tamanho $n$, e o seu limite.

Solução:

Em cada um dos $n$ sorteios com reposição, a observação específica é evitada com probabilidade $1-1/n$. Como os sorteios são independentes, a probabilidade de ela ser evitada em todos é $(1-1/n)^n$. Pelo limite fundamental $\lim_{n\to\infty}(1-1/n)^n=e^{-1}\approx0{,}368$, cerca de $37\%$ das observações ficam de fora de cada reamostra para $n$ grande. Para $n=8$, o valor é $(1-1/8)^8\approx0{,}344$.

3. Por que a reamostragem do bootstrap é com reposição, e não sem?

Solução:

Sem reposição, sortear $n$ de $n$ observações devolve sempre o conjunto original, apenas reordenado, e a estatística não muda de reamostra para reamostra: a variação estimada seria zero. Com reposição, cada reamostra inclui algumas observações repetidas e omite outras, gerando conjuntos genuinamente diferentes cuja variação imita a de amostrar novamente a população. A reposição é o motor da variabilidade que o método precisa medir.

4. Mostre que a média das médias bootstrap aproxima a média da amostra original.

Solução:

Cada observação da amostra tem a mesma probabilidade de ser sorteada em cada posição de uma reamostra, então o valor esperado de uma observação reamostrada é a média da amostra original $\bar{x}$. Pela linearidade, o valor esperado da média de uma reamostra também é $\bar{x}$. Logo, a média das médias bootstrap converge a $\bar{x}$ conforme o número de réplicas cresce; a distribuição bootstrap fica centrada na estatística original, não no parâmetro desconhecido.

5. O bootstrap corrige viés de amostragem?

Solução:

Não. O bootstrap estima a incerteza devida à variação amostral, tratando a amostra como população substituta. Se a amostra original é enviesada, por seleção ou sobrevivência, todas as reamostras herdam o mesmo viés, e o intervalo resultante estará centrado no valor errado, ainda que estreito. O bootstrap mede precisão, não acurácia; contra viés, só um desenho amostral aleatório, do sétimo artigo, protege.

2. Erro padrão por bootstrap

O primeiro uso do bootstrap é estimar o erro padrão de uma estatística sem fórmula fechada. O procedimento é direto: gera-se um grande número $B$ de reamostras, calcula-se a estatística em cada uma, e toma-se o desvio padrão dessas $B$ estimativas. Esse desvio é a estimativa bootstrap do erro padrão, porque o erro padrão é, por definição, o desvio padrão da distribuição amostral, e a distribuição bootstrap a aproxima. Para a média dos oito salários da equipe, com $B=100\,000$ reamostras, o erro padrão bootstrap é aproximadamente $1{,}73$ mil reais.

Vale confrontar esse número com a fórmula analítica. O erro padrão estimado da média é $s/\sqrt{n}=5{,}227/\sqrt{8}\approx1{,}848$, um pouco maior que o bootstrap. A diferença não é erro: o bootstrap usa a variabilidade da amostra normalizada por $n$, ao passo que $s$ usa o divisor $n-1$; a razão entre os dois é $\sqrt{(n-1)/n}=\sqrt{7/8}\approx0{,}935$, e de fato $1{,}848\times0{,}935\approx1{,}73$. Para amostras grandes, os dois convergem, e a distinção some. O ponto é que, para a média, o bootstrap apenas confirma o que a fórmula já dava; o seu valor real aparece quando não há fórmula.

Para a mediana dos salários, reamostrar e medir o desvio das medianas dá aproximadamente $2{,}29$ mil reais. Esse número descreve o bootstrap empírico desta amostra, mas $n=8$ produz poucas medianas possíveis e uma distribuição discreta; sua qualidade como aproximação deve ser tratada com cautela. O mesmo procedimento pode ser aplicado a quantis, correlações e razões, desde que o estimador seja regular e a amostra contenha informação suficiente.

O máximo mostra uma falha estrutural: o máximo de uma reamostra nunca excede o máximo observado, embora uma nova amostra da população possa excedê-lo. Parâmetros de suporte e outros extremos pedem teoria de valores extremos, modelos paramétricos ou variantes específicas. Correlação próxima da fronteira, quantis em regiões com poucos dados e razões com denominador perto de zero também merecem diagnóstico. Executar o algoritmo é fácil; justificar que ele aproxima a distribuição certa é a parte estatística.

2.1 Exercícios da Seção 2

1. Descreva o procedimento para estimar o erro padrão bootstrap da mediana dos salários.

Solução:

Gera-se um grande número $B$ de reamostras de tamanho $8$ com reposição; em cada uma, calcula-se a mediana; ao final, toma-se o desvio padrão das medianas. O valor é aproximadamente $2{,}29$ mil reais neste esquema. O algoritmo pode receber muitas estatísticas, mas sua validade deve ser verificada para o estimador, o tamanho amostral e a estrutura dos dados.

2. Compare o erro padrão bootstrap da média com $s/\sqrt{n}$ e explique a pequena diferença.

Solução:

Os dois resultados serão:

A diferença vem do divisor: o bootstrap normaliza a variabilidade da distribuição empírica por $n$, enquanto $s$ usa $n-1$. A razão será $\sqrt{(n-1)/n}=\sqrt{7/8}\approx0{,}935$, e $1{,}848\times0{,}935\approx1{,}73$. Para $n$ grande, o fator tende a $1$ e a diferença desaparece.

3. Por que o erro padrão bootstrap da mediana é maior que o da média nesta amostra?

Solução:

A comparação observada será:

Sob distribuições sem caudas muito pesadas, a mediana tem variância amostral maior que a média, tipicamente cerca de $\pi/2\approx1{,}57$ vezes a variância da média para a normal. Ela usa sobretudo a posição central e, portanto, pode variar mais de amostra para amostra, ainda que resista melhor a outliers.

4. Como o número de réplicas $B$ afeta a estabilidade da estimativa bootstrap?

Solução:

Mais réplicas reduzem o ruído de Monte Carlo da estimativa, que decresce como $1/\sqrt{B}$, exatamente a taxa do sétimo artigo. Com $B$ pequeno, repetir o bootstrap com sementes diferentes daria erros padrão visivelmente distintos; com $B$ grande, vamos dizer $10^4$ a $10^5$, a estimativa estabiliza. $B$ controla a precisão da simulação, não a incerteza estatística, que é limitada pelo tamanho $n$ da amostra original.

5. Por que o bootstrap falha para o máximo de uma distribuição?

Solução:

O máximo de uma reamostra é sempre uma das observações da amostra original, logo nunca excede o máximo observado. A distribuição bootstrap do máximo fica presa em valores menores ou iguais ao máximo amostral, subestimando sistematicamente a variabilidade do verdadeiro máximo populacional, que poderia ser maior. Estatísticas governadas por valores extremos escapam ao bootstrap comum, que só reembaralha o que a amostra já contém.

3. Intervalos de confiança: o conceito

Um erro padrão diz quão dispersa é a estimativa; um intervalo de confiança (IC) traduz essa dispersão em uma faixa com uma garantia declarada. Um intervalo de confiança de nível $1-\alpha$, vamos dizer $95\%$, é construído por um procedimento com a seguinte propriedade: se repetíssemos a amostragem e a construção do intervalo muitas vezes, cerca de $95\%$ dos intervalos conteriam o parâmetro verdadeiro. O nível de confiança é uma propriedade do procedimento, medida sobre amostras hipotéticas repetidas, não uma probabilidade sobre um intervalo particular já calculado.

Essa distinção é a fonte do erro de interpretação mais comum da estatística, e é preciso enfrentá-la de frente. A frase há $95\%$ de probabilidade de o parâmetro estar neste intervalo está errada na estrutura frequentista. O parâmetro é um número fixo, embora desconhecido; ele está ou não está dentro do intervalo calculado, sem probabilidade envolvida. O que é aleatório é o intervalo, que muda a cada amostra. A interpretação correta é sobre a cobertura de longo prazo: o método acerta $95\%$ das vezes, e temos confiança de $95\%$ porque usamos um método com essa taxa de acerto, não porque este intervalo específico tenha $95\%$ de chance de conter o alvo. Simular $95\%$ de intervalos e contar quantos contêm o parâmetro confirma a leitura: sob normal com parâmetro conhecido, uma simulação de vinte mil intervalos de $95\%$ cobre o parâmetro em cerca de $95{,}1\%$ das vezes.

Três fatores controlam a largura de um intervalo, e todos seguem da sua construção. Primeiro, o nível de confiança: exigir $99\%$ em vez de $95\%$ alarga o intervalo, porque cobrir o parâmetro mais vezes exige uma faixa maior; pedir $90\%$ o estreita. Segundo, o tamanho da amostra: como a largura é proporcional ao erro padrão $\propto1/\sqrt{n}$, quadruplicar $n$ reduz a largura à metade, a mesma economia dura do sétimo artigo. Terceiro, a variabilidade dos dados: dados mais dispersos produzem intervalos mais largos, porque há mais incerteza a acomodar. O intervalo de confiança é, em suma, a forma honesta de reportar uma estimativa: não um número seco, mas uma faixa acompanhada da confiança que o método merece.

3.1 Exercícios da Seção 3

1. Enuncie a interpretação correta de um intervalo de confiança de $95\%$.

Solução:

Se repetíssemos a amostragem e a construção do intervalo muitas vezes, cerca de $95\%$ dos intervalos assim construídos conteriam o parâmetro verdadeiro. A confiança é uma propriedade da taxa de acerto do procedimento ao longo de amostras repetidas, não uma probabilidade sobre o intervalo particular já calculado. O parâmetro é fixo; o intervalo é que é aleatório.

2. Aponte o erro na frase há $95\%$ de chance de $\mu$ estar neste intervalo.

Solução:

Na estrutura frequentista, $\mu$ é um número fixo e o intervalo calculado também é fixo depois de observados os dados; $\mu$ está ou não está dentro dele, sem probabilidade intermediária. A aleatoriedade estava no intervalo antes da amostragem, não em $\mu$. A formulação correta atribui os $95\%$ à cobertura de longo prazo do método, não a este intervalo específico.

3. Em uma simulação, constroem-se $100$ intervalos de $95\%$ a partir de $100$ amostras. Quantos se espera que contenham $\mu$?

Solução:

O rastreamento esperado será:

O número exato varia entre execuções. Ver alguns intervalos falharem é esperado e correto; um método de $95\%$ deve errar em torno de $5\%$ das vezes.

4. Qual o efeito de aumentar o nível de confiança de $95\%$ para $99\%$ sobre a largura?

Solução:

O intervalo alarga. Para cobrir o parâmetro em $99\%$ das amostras, em vez de $95\%$, é preciso uma faixa maior, o que se reflete em um valor crítico maior ($z$ passa de $1{,}96$ para $2{,}576$). Mais confiança custa mais largura; a informação nos dados é a mesma, e só redistribuímos o compromisso entre cobertura e precisão. Não há almoço grátis.

5. Como a largura do intervalo depende do tamanho da amostra?

Solução:

A largura é proporcional ao erro padrão, que escala com $1/\sqrt{n}$. Portanto, dobrar $n$ estreita o intervalo por um fator $\sqrt{2}\approx1{,}41$, e quadruplicar $n$ o estreita à metade. Reduzir a largura de um intervalo por um fator $k$ exige multiplicar a amostra por $k^2$, a relação quadrática entre precisão e custo amostral que a série repete desde o erro padrão.

4. Intervalo de confiança por bootstrap

O método mais direto é o intervalo do percentil. Constrói-se a distribuição bootstrap da estatística com $B$ reamostras e tomam-se os percentis que deixam $\alpha/2$ em cada cauda: $2{,}5$ e $97{,}5$ para um intervalo de $95\%$. Ele não impõe simetria normal, mas ainda depende de a distribuição empírica representar o processo amostral e de a aproximação bootstrap ter cobertura adequada. Sem fórmula não significa sem suposições.

Para a média dos oito salários da equipe, o método do percentil com $B=100\,000$ dá um intervalo de $95\%$ de aproximadamente $[8{,}7;\,15{,}4]$ mil reais, e um de $90\%$ de aproximadamente $[9{,}0;\,14{,}7]$; o intervalo de $90\%$ é mais estreito, como a Seção 3 previu. Aplicado à mediana, para a qual não há intervalo analítico elementar, o método funciona sem mudança: tomam-se os percentis da distribuição bootstrap das medianas. E para a diferença de duas médias, reamostra-se cada grupo separadamente, calcula-se a diferença em cada réplica e tomam-se os percentis da distribuição das diferenças, um procedimento que os experimentos A/B do próximo artigo usarão.

Confrontar o intervalo bootstrap com o analítico é instrutivo. Para a média desta amostra pequena, o intervalo $t$ é $[7{,}3;\,16{,}1]$, mais largo que o percentil $[8{,}7;\,15{,}4]$. Com $n=8$, a diferença não autoriza concluir que o intervalo mais estreito é melhor. O método do percentil tem cobertura apenas aproximada e pode errar quando há viés ou assimetria da distribuição do estimador.

O intervalo básico reflete os percentis em torno da estimativa observada. O intervalo BCa, corrigido por viés e aceleração, ajusta tanto o deslocamento quanto a mudança do erro padrão ao longo do parâmetro e costuma oferecer melhor precisão de cobertura para estimadores regulares. Nenhuma variante resgata informação que a amostra não contém. Comparar percentil, BCa e um método analítico plausível é uma análise de sensibilidade, não uma competição para escolher a faixa mais conveniente.

4.1 Exercícios da Seção 4

1. Descreva o método do percentil para um intervalo de $90\%$ da média.

Solução:

Gera-se um grande número $B$ de reamostras com reposição, calcula-se a média de cada uma, ordena-se a coleção de médias e tomam-se os percentis $5$ e $95$. A faixa entre eles é o intervalo de confiança bootstrap de $90\%$ pelo método do percentil. Para os salários da equipe, isso dá aproximadamente $[9{,}0;\,14{,}7]$ mil reais.

2. Como construir um intervalo bootstrap para a mediana?

Solução:

Idêntico ao da média, trocando a estatística: em cada reamostra, calcula-se a mediana em vez da média, e tomam-se os percentis $2{,}5$ e $97{,}5$ da distribuição bootstrap das medianas para um intervalo de $95\%$. A ausência de fórmula analítica elementar para a mediana é justamente o que torna o bootstrap indispensável aqui; o procedimento não muda em nada.

3. Por que o intervalo bootstrap percentil da média é mais estreito que o intervalo $t$ nesta amostra?

Solução:

O intervalo $t$ usa a distribuição exata sob amostragem normal e incorpora a estimativa de $\sigma$ por meio de $t_7$. O percentil usa a distribuição empírica de apenas oito valores e oferece cobertura aproximada. Sua menor largura pode refletir subcobertura, discretização e viés da aproximação. A qualidade deve ser julgada pela cobertura sob hipóteses plausíveis, não pela preferência por um intervalo estreito.

4. Como construir um intervalo bootstrap para a diferença entre as médias de dois grupos?

Solução:

Reamostra-se cada grupo separadamente, com reposição e mantendo o tamanho de cada um; em cada réplica, calcula-se a diferença entre as médias reamostradas dos dois grupos; ao final, tomam-se os percentis da distribuição bootstrap das diferenças. Se o intervalo de $95\%$ da diferença não contém zero, há evidência de que as médias diferem, ligação com os testes do próximo artigo.

5. Por que o intervalo bootstrap percentil pode ser assimétrico em torno da estimativa?

Solução:

O método do percentil não força equidistância em torno da estimativa. Se a distribuição bootstrap é assimétrica, os quantis ficam a distâncias diferentes. Isso pode representar assimetria real da incerteza, mas não garante cobertura correta; viés do estimador e amostra pequena também deslocam a distribuição. BCa tenta corrigir parte desses efeitos.

5. Intervalo analítico para média e proporção

Quando a normalidade é razoável, fórmulas fechadas dispensam a reamostragem. Considere a média amostral $\bar{x}$ de $n$ observações, o desvio-padrão populacional conhecido $\sigma$ e um nível de confiança $1-\alpha$. Denotamos por $z_{1-\alpha/2}$ o quantil correspondente da normal padrão, que vale $1{,}96$ para $95\%$ e $2{,}576$ para $99\%$. O intervalo para a média é $\bar{x}\pm z_{1-\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}$, e a parcela $z_{1-\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}$ é a margem de erro. Como quase nunca conhecemos $\sigma$, usamos em seu lugar o desvio-padrão amostral $s$ e substituímos o quantil normal pelo quantil $t_{n-1,\,1-\alpha/2}$ da distribuição $t$ de Student com $n-1$ graus de liberdade. Obtemos, assim, $\bar{x}\pm t_{n-1,\,1-\alpha/2}\,s/\sqrt{n}$. Para os oito salários, com $\bar{x}=11{,}7125$, $s=5{,}227$ e $t_{7,\,0{,}975}=2{,}365$, a margem é $2{,}365\times5{,}227/\sqrt{8}\approx4{,}37$, e o intervalo de $95\%$ é $[7{,}34;\,16{,}08]$ mil reais.

A distinção entre $z$ e $t$ importa, e importa mais quanto menor a amostra. A distribuição $t$, do quinto artigo, tem caudas mais pesadas que a normal, então o seu valor crítico é maior e o intervalo, mais largo: para $n=5$, $t_4=2{,}776$ contra $z=1{,}96$; para $n=100$, $t_{99}=1{,}984$, quase igual a $z$. O intervalo $t$ é mais largo porque paga, honestamente, pela incerteza de ter estimado $\sigma$ com poucos dados; usar $z$ com $\sigma$ estimado em amostra pequena produziria intervalos estreitos demais, com cobertura abaixo do prometido.

Para uma proporção, seja $\hat p$ a proporção observada em uma amostra de tamanho $n$ e seja $z_{1-\alpha/2}$ o quantil da normal padrão correspondente ao nível de confiança $1-\alpha$. A expressão simétrica

é o intervalo de Wald. Ele é popular, mas pode ter cobertura ruim em amostras pequenas ou proporções próximas de $0$ e $1$, além de poder ultrapassar os limites $[0,1]$. Uma escolha padrão melhor é o intervalo de Wilson. Usaremos $z=z_{1-\alpha/2}$ e denotaremos por $c$ o centro e por $h$ a meia largura:

O intervalo é $[c-h,c+h]$. Para $\hat{p}=4/8=0{,}5$ e $z=1{,}96$, Wilson fornece aproximadamente $[0{,}215;\,0{,}785]$. Ele continua largo, como deve ser com oito pessoas, mas tem cobertura geralmente melhor que Wald. Para planejar uma amostra independente simples, a aproximação $n=z^2p(1-p)/E^2$ usa $p=0{,}5$ no pior caso e dá cerca de $385$ para margem $0{,}05$ a $95\%$. Efeito de desenho, população finita, não resposta e multiplicidade podem aumentar ou reduzir essa necessidade.

5.1 Exercícios da Seção 5

1. Construa o intervalo de confiança de $95\%$ para a média dos salários com a distribuição $t$.

Solução:

Com $\bar{x}=11{,}7125$, $s=5{,}227$, $n=8$ e $t_{7,\,0{,}975}=2{,}365$, a margem é $2{,}365\times5{,}227/\sqrt{8}=2{,}365\times1{,}848\approx4{,}37$. O intervalo é $11{,}7125\pm4{,}37$, ou seja, $[7{,}34;\,16{,}08]$ mil reais. A largura considerável reflete a amostra pequena e a incerteza de estimar $\sigma$ com sete graus de liberdade.

2. Por que usar a distribuição $t$ em vez da normal quando $\sigma$ é desconhecido?

Solução:

Substituir $\sigma$ pela estimativa $s$ introduz incerteza adicional, que a normal ignora. A distribuição $t$, de caudas mais pesadas, compensa essa incerteza com um valor crítico maior, produzindo um intervalo mais largo e uma cobertura correta. Usar $z$ com $\sigma$ estimado subestima a incerteza em amostras pequenas, gerando intervalos estreitos demais que cobrem o parâmetro menos que os prometidos $95\%$.

3. Construa o intervalo de Wilson de $95\%$ para a proporção de trabalho remoto da equipe e compare-o com Wald.

Solução:

Com $\hat{p}=0{,}5$, $n=8$ e $z=1{,}96$, obtemos:

Ambos revelam grande incerteza, mas Wilson se comporta melhor e respeita os limites possíveis de uma proporção.

4. Que tamanho de amostra garante uma margem de erro de $0{,}05$ para uma proporção, a $95\%$?

Solução:

Invertendo a margem $E=z\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$, obtém-se $n=z^2\hat{p}(1-\hat{p})/E^2$. No pior caso, $\hat{p}=0{,}5$ maximiza $\hat{p}(1-\hat{p})=0{,}25$, dando $n=1{,}96^2\times0{,}25/0{,}05^2=3{,}8416\times0{,}25/0{,}0025\approx385$ (arredondando para cima). É o número típico de respondentes de uma pesquisa de opinião com margem de três a cinco pontos.

5. Compare a largura dos intervalos $z$ e $t$ para $n=5$ e $n=100$.

Solução:

A comparação dos valores críticos será:

Conforme $n$ cresce, $s$ estima $\sigma$ com mais precisão, a incerteza extra desaparece e a distribuição $t$ converge para a normal.

6. Bootstrap em C++ e no Colab

Implementamos o bootstrap para a média dos salários, estimando o erro padrão e o intervalo de confiança pelo método do percentil. O programa reamostra com reposição usando um gerador de índices uniformes, acumula as médias reamostradas, e ao final calcula o desvio (erro padrão bootstrap) e os percentis $2{,}5$ e $97{,}5$ (intervalo de $95\%$). Compile com g++ -std=c++23 -O2 -Wall -Wextra -Wconversion -Wshadow -pedantic bootstrap.cpp -o bootstrap.

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdint>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <random>
#include <vector>

// Percentile of an already-sorted vector, by linear interpolation.
double percentil(const std::vector<double>& ordenado, double p) {
    const double pos = p / 100.0 * static_cast<double>(ordenado.size() - 1);
    const std::size_t lo = static_cast<std::size_t>(std::floor(pos));
    const std::size_t hi = static_cast<std::size_t>(std::ceil(pos));
    const double frac = pos - static_cast<double>(lo);
    return ordenado[lo] * (1.0 - frac) + ordenado[hi] * frac;
}

int main() {
    const std::vector<double> salario = {6.5, 9.0, 12.0, 15.5, 8.2, 22.0, 7.1, 13.4};
    const std::size_t n = salario.size();
    constexpr std::uint64_t B = 100'000;

    std::mt19937 gerador(42);
    std::uniform_int_distribution<std::size_t> sorteia(0, /*inclusive*/ 7);

    std::vector<double> medias;
    medias.reserve(B);
    for (std::uint64_t b = 0; b < B; ++b) {
        double soma = 0.0;
        for (std::size_t i = 0; i < n; ++i) soma += salario[sorteia(gerador)];
        medias.push_back(soma / static_cast<double>(n));
    }

    double m = 0.0;
    for (const double v : medias) m += v;
    m /= static_cast<double>(B);
    double sq = 0.0;
    for (const double v : medias) { const double d = v - m; sq += d * d; }
    const double ep = std::sqrt(sq / static_cast<double>(B - 1));

    std::sort(medias.begin(), medias.end());
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(4)
              << "erro padrao bootstrap = " << ep << '\n'
              << "IC 95% percentil       = [" << percentil(medias, 2.5)
              << ", " << percentil(medias, 97.5) << "]\n";
}

A saída aproximada, com a semente $42$, é

erro padrao bootstrap = 1.7232
IC 95% percentil       = [8.6500, 15.3250]

O erro padrão bootstrap, $\approx1{,}73$, reproduz o valor da Seção 2, e o intervalo de $95\%$, $\approx[8{,}7;\,15{,}4]$, o da Seção 4. Os dígitos exatos dependem do gerador e do número de réplicas, mas a estabilidade em $B=100\,000$ é boa. No Colab, o bootstrap é uma linha com NumPy: medias = rng.choice(salario, size=(100_000, 8), replace=True).mean(axis=1) gera as médias reamostradas, medias.std(ddof=1) dá o erro padrão, e np.percentile(medias, [2.5, 97.5]) dá o intervalo. A biblioteca scipy.stats.bootstrap empacota o procedimento com variantes mais sofisticadas que corrigem o pequeno viés do método do percentil mencionado na Seção 4.

6.1 Exercícios da Seção 6

1. Por que o programa usa std::uniform_int_distribution sobre os índices, e não sobre os valores?

Solução:

A reamostragem sorteia posições da amostra original com reposição, e o índice é a forma natural de fazê-lo: cada sorteio escolhe um índice de $0$ a $n-1$ uniformemente, e o valor correspondente entra na reamostra. Sortear índices funciona para qualquer tipo de dado e deixa explícito que a reposição ocorre no nível das observações, não dos valores numéricos, que poderiam repetir-se legitimamente na amostra original.

2. Qual a complexidade de tempo e de espaço do bootstrap implementado?

Solução:

O tempo é $O(B\times n)$ para gerar as reamostras, mais $O(B\log B)$ para ordenar as médias antes dos percentis, dominado pelo primeiro termo quando $n$ e $B$ são comparáveis ao produto. O espaço é $O(B)$, para guardar as médias reamostradas. Para os oito salários com $B=100\,000$, são oitocentos mil sorteios e uma ordenação de cem mil elementos, trabalho de milissegundos.

3. O que muda no código para estimar o erro padrão bootstrap da mediana?

Solução:

Em vez de acumular a soma e dividir, cada reamostra precisa ser copiada para um vetor, ordenada, e ter a sua mediana extraída (média dos dois centrais para $n$ par). Substitui-se o cálculo da média pelo da mediana no laço interno, mantendo o resto. O erro padrão resultante seria $\approx2{,}29$, o valor da Seção 2, maior que o da média.

4. Por que os dígitos exatos da saída não são perfeitamente reprodutíveis entre bibliotecas?

Solução:

Embora o mt19937 seja padronizado, o mapeamento de std::uniform_int_distribution para um intervalo pode variar entre implementações da biblioteca padrão, como o quarto artigo já observara. Além disso, o resultado é uma estimativa de Monte Carlo que depende da sequência de sorteios. O que se mantém entre execuções e bibliotecas é a proximidade ao erro padrão e ao intervalo teóricos, não os últimos dígitos.

5. Como o intervalo bootstrap se estreitaria se a amostra original tivesse $32$ salários em vez de $8$?

Solução:

A largura do intervalo é governada pelo erro padrão $\propto1/\sqrt{n}$ da amostra original, não por $B$. Quadruplicar $n$ de $8$ para $32$ reduziria o erro padrão, e portanto a largura do intervalo, aproximadamente à metade. Aumentar $B$ apenas suaviza a estimativa dos percentis; é o tamanho da amostra real, e não o número de reamostras, que compra precisão estatística.

7. Um laboratório para o bootstrap

O bootstrap é um método que a intuição aprende vendo a distribuição bootstrap se formar, réplica a réplica. O laboratório abaixo parte de um pequeno conjunto de dados, o dos salários da equipe, e deixa a leitora acionar reamostragens sucessivas, observando o histograma da estatística bootstrap crescer e o intervalo de confiança por percentil se desenhar sobre ele. Controles ajustam o número de réplicas e permitem trocar a estatística entre média e mediana, tornando visível por que a mediana produz um intervalo mais largo.

O que o laboratório ensina é que o intervalo de confiança não cai do céu: ele é lido diretamente da distribuição bootstrap, cujos percentis $2{,}5$ e $97{,}5$ marcam as bordas. Ao aumentar o número de réplicas, a leitora vê o histograma suavizar e o intervalo estabilizar, ilustrando que mais réplicas refinam a estimativa da simulação sem estreitar o intervalo, que depende do tamanho fixo da amostra. Ao trocar média por mediana, o intervalo alarga, tornando tátil a maior variabilidade da mediana discutida na Seção 2.

7.1 Exercícios da Seção 7

1. Com poucas réplicas, o histograma bootstrap é irregular. O que acontece ao aumentá-las?

Solução:

Com poucas réplicas, o histograma tem picos e vales erráticos, ruído de Monte Carlo da simulação. Aumentando o número de réplicas, ele suaviza e converge para a forma da distribuição amostral que aproxima, e os percentis que definem o intervalo estabilizam. A melhora segue a taxa $1/\sqrt{B}$; o intervalo não estreita, apenas fica mais bem estimado.

2. Por que aumentar as réplicas não estreita o intervalo de confiança?

Solução:

A largura do intervalo reflete a incerteza estatística, fixada pelo tamanho $n$ da amostra original e pela variabilidade dos dados. As réplicas $B$ apenas estimam com mais precisão os percentis da distribuição bootstrap; elas reduzem o erro de simulação, não a incerteza dos dados. Estreitar o intervalo de verdade exigiria mais dados reais, não mais reamostras dos mesmos dados.

3. Troque a estatística de média para mediana e descreva o efeito sobre o intervalo.

Solução:

O intervalo da mediana é mais largo que o da média para esta amostra, porque a mediana tem maior variabilidade amostral sob distribuições sem caudas muito pesadas, como discutido na Seção 2. A distribuição bootstrap das medianas é mais dispersa, então os percentis $2{,}5$ e $97{,}5$ ficam mais afastados. O laboratório mostra as duas distribuições lado a lado ao alternar a estatística.

4. Como o laboratório marca o intervalo de confiança sobre o histograma?

Solução:

Ele ordena as estatísticas bootstrap acumuladas e desenha linhas verticais nos percentis $2{,}5$ e $97{,}5$, que delimitam o intervalo de $95\%$. A faixa entre as duas linhas contém $95\%$ das réplicas. Essa leitura direta é o método do percentil da Seção 4 tornado gráfico: o intervalo é literalmente a região central da distribuição bootstrap.

5. Se a leitora pudesse acrescentar dados à amostra original no laboratório, o que aconteceria com o intervalo?

Solução:

Acrescentar observações reais aumentaria $n$ e, por consequência, estreitaria a distribuição bootstrap e o intervalo, à taxa $1/\sqrt{n}$. É a distinção central: mais dados reais reduzem a incerteza e estreitam o intervalo; mais reamostras dos mesmos dados apenas refinam a estimativa. O laboratório separa visualmente os dois efeitos, o que o texto separou em palavras.

8. Conclusão

Este artigo resolveu o impasse deixado pelo anterior: medir a incerteza quando a derivação analítica é difícil. O bootstrap reamostra os dados segundo uma estrutura que deve reproduzir o desenho e o estimador; vimos por que independência, tamanho amostral e regularidade ainda importam. Construímos intervalos pelo percentil, apresentamos o BCa como correção de ordem superior e mantivemos a interpretação frequentista em termos de cobertura. Para fórmulas analíticas, usamos $t$ na média sob o modelo normal e Wilson na proporção, evitando tratar o intervalo de Wald como padrão em amostras pequenas.

O fio a levar adiante é que o intervalo de confiança responde à pergunta quanto?, cercando um parâmetro com uma faixa. Muitas decisões, porém, exigem responder sim ou não?: esta mudança teve efeito, ou a diferença observada é obra do acaso? O próximo artigo constrói o aparato que responde a essa pergunta, os testes de hipótese e os experimentos A/B, com a hipótese nula, o teste de permutação, o p-valor e a consciência exata do que cada um significa e do que nenhum deles garante. O bootstrap e o intervalo de confiança que dominamos aqui serão, ao longo de toda a segunda metade da série, os companheiros constantes desse aparato.

Acrônimos e Abreviações neste artigo

A seguir está a lista de todos os acrônimos e abreviações identificados no texto, organizados em ordem alfabética com o termo original em inglês e a tradução para o português:

Referências

ADHIKARI, A.; DENERO, J.; WAGNER, D. Computational and Inferential Thinking: The Foundations of Data Science. UC Berkeley Data 8. Disponível em: https://inferentialthinking.com/. Acesso em: 23 jul. 2026.

BRUCE, P.; BRUCE, A.; GEDECK, P. Practical Statistics for Data Scientists. 2. ed. Sebastopol: O’Reilly, 2020.

EFRON, B.; TIBSHIRANI, R. J. An Introduction to the Bootstrap. New York: Chapman & Hall, 1993.

LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015.

WALPOLE, R. E. et al. Probabilidade e estatística: para engenharia e ciências. 8. ed. São Paulo: Pearson, 2008.