Testes Paramétricos: t, z e Qui-Quadrado

O nono artigo construiu o teste de hipótese pela porta da randomização e da permutação. Ele evita uma forma paramétrica específica, mas não é livre de hipóteses: os dados ou rótulos precisam ser permutáveis sob a hipótese nula, de acordo com o desenho. Quando um modelo probabilístico é defensável, a estatística clássica oferece testes de fórmula fechada, que produzem uma estatística e um p-valor sem simular milhares de reamostragens.

Este artigo apresenta essa família paramétrica. Começamos pela transição do teste $z$, que supõe $\sigma$ conhecido, ao teste $t$ de Student, que o estima dos dados. Percorremos os testes $t$ para uma amostra, duas amostras independentes e amostras pareadas, e o teste $z$ para proporções, revelando a sua ligação exata com o qui-quadrado. Fechamos a parte de contagens com o teste qui-quadrado de aderência e de independência, e dedicamos uma seção inteira aos pressupostos, porque um teste paramétrico aplicado fora das suas condições produz um p-valor com aparência de rigor e conteúdo de ficção. Usamos os dados da equipe dos artigos anteriores e o combinado: exemplos em C++23, laboratório em Python no Colab e um experimento em JavaScript.

1. Do z ao t

Suponha que queiramos testar se a média de uma população vale um valor hipotético $\mu_0$, com base em uma amostra de tamanho $n$. Se, por um milagre improvável, conhecêssemos o desvio padrão populacional $\sigma$, o sétimo artigo já nos daria a ferramenta: pelo teorema central do limite, a média amostral $\bar{x}$ tem erro padrão $\sigma/\sqrt{n}$, e a estatística padronizada

segue aproximadamente a normal padrão sob a hipótese nula $H_0:\mu=\mu_0$. Comparar $z$ com os quantis da normal dá o p-valor. Este é o teste $z$, e a sua limitação é evidente: quase nunca conhecemos $\sigma$.

Na prática, substituímos $\sigma$ pelo desvio padrão amostral $s$, e é aqui que nasce uma distribuição nova. A estatística resultante,

não segue mais a normal, porque o denominador agora é aleatório: $s$ varia de amostra para amostra e, em amostras pequenas, subestima $\sigma$ com frequência apreciável. A distribuição correta de $t$ é a $t$ de Student com $n-1$ graus de liberdade, apresentada no quinto artigo: tem a forma de sino da normal, porém com caudas mais pesadas, tanto mais pesadas quanto menor $n$. Os graus de liberdade, $n-1$, contam a informação que sobrou para estimar a dispersão depois de gastar uma unidade na média, exatamente o divisor do desvio amostral do segundo artigo.

A diferença entre $z$ e $t$ importa em amostras pequenas e desaparece em grandes. O valor crítico bicaudal a $5\%$ da $t$ é $t_{4,\,0{,}975}=2{,}776$ para $n=5$, bem acima do $z=1{,}96$; para $n=30$, cai a $t_{29,\,0{,}975}=2{,}045$; para $n=100$, a $t_{99,\,0{,}975}=1{,}984$, quase o $z$. Quando $\sigma$ é estimado e o modelo normal é adequado, a referência correta em amostra finita é a distribuição $t$. Amostras grandes aproximam $t$ da normal, mas não consertam dependência, seleção enviesada ou uma média populacional inexistente.

1.1 Exercícios da Seção 1

1. Escreva a estatística $z$ para testar $H_0:\mu=100$ com $\bar{x}=104$, $\sigma=15$ conhecido e $n=25$.

Solução:

O erro padrão é $\sigma/\sqrt{n}=15/5=3$, e a estatística é $z=(104-100)/3\approx1{,}333$. O p-valor bicaudal é $2\,P(Z>1{,}333)\approx0{,}182$, acima de $0{,}05$, então não se rejeita a nula: uma média amostral de $104$ é compatível com $\mu=100$ sob esse erro padrão.

2. Escreva a estatística $t$ para os mesmos dados, mas com $\sigma$ desconhecido e estimado por $s=15$.

Solução:

A forma é idêntica, $t=(104-100)/(15/\sqrt{25})=1{,}333$, mas a distribuição de referência muda: agora é a $t$ com $n-1=24$ graus de liberdade, não a normal. O p-valor bicaudal usa $t_{24}$, dando $\approx0{,}195$, ligeiramente maior que o do $z$, porque as caudas mais pesadas da $t$ tornam o mesmo valor menos extremo. A diferença é pequena com $n=25$.

3. Compare os valores críticos $z$ e $t$ para $n=5$ e $n=100$, a $5\%$ bicaudal.

Solução:

A comparação será:

A distância entre $t$ e $z$ encolhe rapidamente; com algumas dezenas de observações, a diferença entre os críticos já é pequena.

4. Por que a distribuição $t$ tem caudas mais pesadas que a normal?

Solução:

Porque o denominador $s/\sqrt{n}$ é aleatório: $s$ estima $\sigma$ com erro, e em amostras pequenas subestima $\sigma$ em uma fração apreciável dos casos, inflando a estatística $t$. Essa incerteza adicional no denominador espalha a distribuição, produzindo valores extremos com mais frequência que a normal, cujo denominador $\sigma/\sqrt{n}$ é fixo. Quanto menor $n$, mais ruidoso $s$ e mais pesadas as caudas.

5. Qual o risco de usar $z$ em vez de $t$ quando $\sigma$ é estimado em uma amostra de $n=6$?

Solução:

Usar o valor crítico $z=1{,}96$ em vez de $t_{5,\,0{,}975}=2{,}571$ torna o teste anticonservador: rejeita-se a nula com evidência mais fraca do que a devida, e a taxa de erro do tipo I real supera o $5\%$ nominal. Do lado do intervalo de confiança, a faixa sai estreita demais, com cobertura abaixo dos $95\%$ prometidos. Com $n=6$, a diferença é grande e o erro, sério; a $t$ é obrigatória.

2. Testes t

O teste $t$ vem em três sabores, um para cada desenho de dados. O teste $t$ de uma amostra compara a média de um único grupo com um valor hipotético $\mu_0$, com a estatística $t=(\bar{x}-\mu_0)/(s/\sqrt{n})$ e $n-1$ graus de liberdade. Testando se a média salarial da equipe difere de $10$ mil reais, com $\bar{x}=11{,}7125$, $s=5{,}227$ e $n=8$, obtemos $t=(11{,}7125-10)/(5{,}227/\sqrt{8})\approx0{,}927$, com $7$ graus de liberdade e p-valor bicaudal $\approx0{,}385$. Não se rejeita a nula: com oito salários, a média observada é compatível com uma média populacional de $10$ mil.

O teste $t$ de duas amostras independentes compara as médias de dois grupos distintos. Na versão clássica, que supõe variâncias iguais, usa-se a variância combinada (pooled) $s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$, e a estatística é $t=(\bar{x}_1-\bar{x}_2)/\sqrt{s_p^2(1/n_1+1/n_2)}$, com $n_1+n_2-2$ graus de liberdade. Para os grupos ${70,75,80,68,77}$ e ${66,71,76,64,73}$, ambos com variância $24{,}5$, obtemos $s_p^2=24{,}5$, $t\approx1{,}278$, $8$ graus de liberdade e p-valor $\approx0{,}237$. O resultado é instrutivo: apesar de o $d$ de Cohen desses grupos ser $0{,}81$, um efeito grande calculado no nono artigo, o teste não rejeita a nula, porque cinco observações por grupo dão pouco poder. Efeito grande e amostra pequena podem coexistir com um resultado não significativo, a lição de poder do artigo anterior encarnada em números.

O teste $t$ pareado aplica-se quando as observações vêm em pares naturais, tipicamente medidas antes e depois no mesmo sujeito. Em vez de comparar dois grupos, calcula-se a diferença dentro de cada par e aplica-se o teste de uma amostra a essas diferenças, testando se a diferença média é zero. Para medidas ${120,118,125,122,119}$ antes e ${115,116,120,119,117}$ depois, as diferenças têm média $3{,}4$, e o teste dá $t\approx5{,}01$, $4$ graus de liberdade e p-valor $\approx0{,}007$: rejeita-se a nula. O contraste com o teste de duas amostras é revelador: o pareamento remove a variabilidade entre sujeitos, ganhando poder, e é por isso que um desenho pareado detecta efeitos que um desenho independente do mesmo tamanho perderia. Quando as variâncias dos dois grupos independentes diferem muito, a correção de Welch ajusta os graus de liberdade para baixo, protegendo contra o excesso de confiança da versão pooled; ela é hoje o padrão recomendado, e reduz os graus de liberdade de forma proporcional à disparidade das variâncias.

2.1 Exercícios da Seção 2

1. Teste se a média salarial da equipe difere de $10$ mil reais.

Solução:

Com $\bar{x}=11{,}7125$, $s=5{,}227$ e $n=8$, a estatística é $t=(11{,}7125-10)/(5{,}227/\sqrt{8})=1{,}7125/1{,}848\approx0{,}927$, com $7$ graus de liberdade. O p-valor bicaudal, usando $t_7$, é $\approx0{,}385$, bem acima de $0{,}05$. Não se rejeita $H_0:\mu=10$; a diferença de $1{,}7$ mil está dentro do que o acaso amostral produz com oito observações tão dispersas.

2. Aplique o teste $t$ de duas amostras aos grupos ${70,75,80,68,77}$ e ${66,71,76,64,73}$.

Solução:

As médias são $74$ e $70$, ambas as variâncias valem $24{,}5$, logo $s_p^2=24{,}5$. A estatística é $t=(74-70)/\sqrt{24{,}5(1/5+1/5)}=4/\sqrt{9{,}8}\approx1{,}278$, com $8$ graus de liberdade. O p-valor bicaudal é $\approx0{,}237$: não se rejeita a nula, apesar de $d=0{,}81$, porque $n=5$ por grupo dá poder insuficiente.

3. Aplique o teste $t$ pareado a antes ${120,118,125,122,119}$ e depois ${115,116,120,119,117}$.

Solução:

As diferenças antes menos depois são ${5,2,5,3,2}$, com média $3{,}4$ e desvio $\approx1{,}517$. A estatística é $t=3{,}4/(1{,}517/\sqrt{5})\approx5{,}01$, com $4$ graus de liberdade, e p-valor $\approx0{,}007$. Rejeita-se a nula: houve redução significativa. O pareamento eliminou a variação entre sujeitos, concentrando o sinal na diferença intra-par.

4. Por que o teste pareado tem mais poder que o de duas amostras independentes, para os mesmos sujeitos?

Solução:

No desenho independente, a variância entre sujeitos entra no erro padrão da diferença de médias, inflando-o. No desenho pareado, cada sujeito serve de seu próprio controle, e a diferença intra-par cancela a variação individual, deixando apenas a variação do efeito. Com um erro padrão menor, a mesma diferença média produz uma estatística maior e um p-valor menor. O pareamento troca variabilidade entre sujeitos por poder.

5. Quando usar a correção de Welch, e o que ela ajusta?

Solução:

Usa-se Welch quando as variâncias dos dois grupos independentes diferem apreciavelmente, ou por precaução, já que ela é hoje o padrão. Ela não usa a variância combinada; em vez disso, ajusta os graus de liberdade para baixo por uma fórmula que os reduz quanto mais díspares forem as variâncias e os tamanhos. Graus de liberdade menores elevam o valor crítico, tornando o teste mais conservador e protegendo a taxa de erro do tipo I, que a versão pooled violaria sob variâncias desiguais.

3. Teste para proporções

Para dados binários, conversão ou não, defeito ou não, o parâmetro de interesse é uma proporção, e o teste apropriado usa a aproximação normal da distribuição amostral da proporção do sétimo artigo. O teste $z$ de uma proporção compara uma proporção observada $\hat{p}$ com um valor hipotético $p_0$, com a estatística $z=(\hat{p}-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$, na qual o erro padrão usa $p_0$, e não $\hat{p}$, porque sob a nula a variância é determinada por $p_0$. A aproximação é boa quando $np_0$ e $n(1-p_0)$ são ambos maiores que cerca de $5$ ou $10$.

O teste $z$ de duas proporções compara as taxas de dois grupos, o caso do experimento A/B. Sob a nula de igualdade, estima-se uma proporção combinada $\hat{p}=(c_1+c_2)/(n_1+n_2)$ e o erro padrão $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/n_1+1/n_2)}$, dando $z=(\hat{p}_1-\hat{p}_2)/\text{EP}$. Para o experimento A/B do artigo anterior, $20/200$ contra $40/200$, a proporção combinada é $60/400=0{,}15$, o erro padrão é $\sqrt{0{,}15\times0{,}85\times(1/200+1/200)}\approx0{,}0357$, e $z=(0{,}20-0{,}10)/0{,}0357\approx2{,}801$, com p-valor bicaudal $\approx0{,}005$. Rejeita-se a igualdade, o mesmo veredito que o teste de permutação deu, agora por fórmula fechada.

Há uma identidade elegante que conecta este teste ao da próxima seção: o quadrado da estatística $z$ de duas proporções é exatamente a estatística qui-quadrado da tabela $2\times2$ correspondente, $z^2=\chi^2$. Para o exemplo, $z^2=2{,}801^2\approx7{,}843$, que é precisamente o valor do qui-quadrado da tabela, e os p-valores coincidem. A identidade não é coincidência: os dois testes medem a mesma discrepância entre observado e esperado sob independência, um na escala da diferença de proporções, o outro na escala dos desvios quadráticos. Reconhecer que são o mesmo teste em disfarces diferentes evita a confusão de tratá-los como análises independentes.

3.1 Exercícios da Seção 3

1. Teste se uma moeda que deu $60$ caras em $100$ lançamentos é justa.

Solução:

Sob $H_0:p_0=0{,}5$, o erro padrão é $\sqrt{0{,}5\times0{,}5/100}=0{,}05$, e a estatística é $z=(0{,}60-0{,}50)/0{,}05=2{,}0$. O p-valor bicaudal é $2\,P(Z>2)\approx0{,}0455$, logo abaixo de $0{,}05$: rejeita-se, por pouco, a hipótese de moeda justa. Com $np_0=n(1-p_0)=50$, a aproximação normal é excelente.

2. Aplique o teste $z$ de duas proporções ao experimento A/B $20/200$ contra $40/200$.

Solução:

As proporções são $\hat{p}_1=0{,}10$ e $\hat{p}_2=0{,}20$; a combinada é $\hat{p}=60/400=0{,}15$. O erro padrão é $\sqrt{0{,}15\times0{,}85\times(1/200+1/200)}=\sqrt{0{,}1275/200}\cdot\sqrt{2}\approx0{,}0357$. A estatística é $z=0{,}10/0{,}0357\approx2{,}801$, com p-valor bicaudal $\approx0{,}005$. Rejeita-se a igualdade, confirmando o veredito do teste de permutação do nono artigo.

3. Verifique a identidade $z^2=\chi^2$ para o exemplo anterior.

Solução:

O quadrado da estatística é $z^2=2{,}801^2\approx7{,}843$. Construindo a tabela $2\times2$ de conversões e não conversões dos dois grupos e calculando o qui-quadrado sem correção, obtém-se exatamente $\chi^2\approx7{,}843$, e o p-valor da $\chi^2_1$ coincide com o p-valor bicaudal do $z$, $\approx0{,}005$. Os dois testes são algebricamente o mesmo para tabelas $2\times2$.

4. Por que o erro padrão do teste de uma proporção usa $p_0$ e não $\hat{p}$?

Solução:

Porque o p-valor é calculado sob a hipótese nula, que fixa $p=p_0$. Sob $H_0$, a variância da proporção amostral é $p_0(1-p_0)/n$, determinada por $p_0$, e é essa a variância correta para padronizar a estatística de teste. Usar $\hat{p}$ no erro padrão seria apropriado para um intervalo de confiança, que não condiciona na nula, mas não para o teste, cuja distribuição de referência é a da nula.

5. Quando a aproximação normal do teste de proporções falha, e o que usar?

Solução:

Ela falha quando $np$ ou $n(1-p)$ é pequeno, vamos dizer abaixo de $5$ a $10$, situação de amostras pequenas ou proporções extremas próximas de $0$ ou $1$. Nesses casos, a distribuição binomial é assimétrica e a aproximação normal erra. A alternativa exata é o teste exato de Fisher para tabelas de contingência, ou o teste binomial exato para uma proporção, que não dependem da aproximação e são o padrão seguro para contagens pequenas.

4. Qui-quadrado

O teste qui-quadrado ($\chi^2$) mede a discrepância entre frequências observadas e esperadas, e vem em duas formas. O teste de aderência (goodness of fit) verifica se uma variável categórica segue uma distribuição hipotética. Para cada categoria $i$, denotaremos por $O_i$ a frequência observada e por $E_i$ a frequência esperada sob a hipótese. A estatística é

na qual $O_i$ é a frequência observada da categoria $i$ e $E_i$ a esperada sob a hipótese, e sob $H_0$ ela segue a distribuição $\chi^2$ do quinto artigo com $k-1$ graus de liberdade, onde $k$ é o número de categorias. Testando se um dado é justo a partir de $60$ lançamentos com frequências observadas ${8,12,10,15,9,6}$, o esperado é $10$ por face, e $\chi^2=\sum(O_i-10)^2/10=(4+4+0+25+1+16)/10=5{,}0$, com $5$ graus de liberdade e p-valor $\approx0{,}416$. Não se rejeita: as frequências são compatíveis com um dado justo.

O teste de independência verifica se duas variáveis categóricas estão associadas, usando a tabela de contingência do quarto artigo. A frequência esperada de cada célula, sob independência, é o produto das marginais dividido pelo total, $E_{ij}=(\text{linha}_i\times\text{coluna}_j)/N$, exatamente a definição de independência $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ traduzida em contagens. A estatística soma $(O-E)^2/E$ sobre todas as células, com $(r-1)(c-1)$ graus de liberdade para uma tabela $r\times c$. Para uma tabela $2\times3$ com linhas ${30,20,10}$ e ${15,25,20}$, os esperados são ${22{,}5;22{,}5;15}$ em cada linha, e $\chi^2\approx8{,}889$, com $2$ graus de liberdade e p-valor $\approx0{,}012$: rejeita-se a independência, as variáveis estão associadas.

O qui-quadrado depende de uma aproximação assintótica. A regra todas as esperadas acima de $5$ é conservadora e simples; um critério comum aceita esperados abaixo de $5$ em até $20\%$ das células, desde que nenhum fique abaixo de $1$, mas o desempenho também depende da estrutura da tabela. Em tabelas $2\times2$, a correção de continuidade de Yates reduz a discrepância para compensar a aproximação de contagens discretas por uma distribuição contínua. Ela pode ser excessivamente conservadora e não deve ser aplicada como reflexo automático.

Com marginais fixadas pelo desenho e amostras pequenas, o teste exato de Fisher é uma alternativa natural para $2\times2$. Exato significa que controla o erro sob seu modelo condicional, não que seja sempre mais poderoso ou que dispense discutir o mecanismo amostral. Para tabelas maiores ou marginais não fixas, métodos exatos, Monte Carlo ou modelos específicos podem ser preferíveis. Na tabela ${{8,2},{3,7}}$, Pearson sem correção dá $\chi^2\approx5{,}05$ e p $\approx0{,}025$, enquanto Yates dá $\chi^2\approx3{,}23$ e p $\approx0{,}072$. A divergência é um aviso de que a aproximação é sensível neste tamanho amostral, não uma ordem para escolher o resultado desejado.

4.1 Exercícios da Seção 4

1. Teste se um dado é justo a partir das frequências ${8,12,10,15,9,6}$ em $60$ lançamentos.

Solução:

Sob $H_0$ de dado justo, cada face é esperada $60/6=10$ vezes. A estatística é $\chi^2=\frac{(8-10)^2+(12-10)^2+(10-10)^2+(15-10)^2+(9-10)^2+(6-10)^2}{10}=\frac{4+4+0+25+1+16}{10}=5{,}0$, com $k-1=5$ graus de liberdade. O p-valor é $P(\chi^2_5>5{,}0)\approx0{,}416$: não se rejeita a hipótese de dado justo.

2. Calcule as frequências esperadas de uma tabela $2\times3$ com linhas ${30,20,10}$ e ${15,25,20}$.

Solução:

Os totais de linha são $60$ e $60$; os de coluna, $45$, $45$ e $30$; o total geral, $120$. Cada esperado é $E_{ij}=(\text{linha}_i\times\text{coluna}_j)/120$. Para a primeira coluna, $E=60\times45/120=22{,}5$ em ambas as linhas; para a segunda, também $22{,}5$; para a terceira, $60\times30/120=15$. Os esperados são ${22{,}5;22{,}5;15}$ em cada linha, simétricos porque as duas linhas têm o mesmo total.

3. Complete o teste de independência da tabela anterior.

Solução:

A estatística soma $(O-E)^2/E$ sobre as seis células: $\frac{(30-22{,}5)^2}{22{,}5}+\frac{(20-22{,}5)^2}{22{,}5}+\frac{(10-15)^2}{15}+\frac{(15-22{,}5)^2}{22{,}5}+\frac{(25-22{,}5)^2}{22{,}5}+\frac{(20-15)^2}{15}$. Isso dá $2{,}5+0{,}278+1{,}667+2{,}5+0{,}278+1{,}667=8{,}889$, com $(2-1)(3-1)=2$ graus de liberdade. O p-valor é $\approx0{,}012$: rejeita-se a independência.

4. Determine os graus de liberdade de uma tabela de contingência $r\times c$ e justifique.

Solução:

São $(r-1)(c-1)$. Fixadas as marginais (totais de linha e coluna), que o teste toma como dadas, uma vez preenchidas $r-1$ linhas e $c-1$ colunas de células, todas as demais ficam determinadas pela exigência de que cada linha e cada coluna some o seu total. Restam, portanto, $(r-1)(c-1)$ células livres, e esse é o número de graus de liberdade. Para a tabela $2\times3$, $(1)(2)=2$.

5. em uma tabela $2\times2$ pequena, Pearson e Yates levam a decisões diferentes a $5\%$. O que essa divergência ensina e que alternativa deve ser considerada?

Solução:

A decisão depende fortemente de como a distribuição discreta foi aproximada, portanto a amostra está em uma região na qual a aproximação assintótica merece cautela. Yates tende a ser conservador e Pearson pode ser liberal em certas configurações. Com marginais fixadas e uma tabela $2\times2$, deve-se considerar Fisher e relatar o método escolhido antes de olhar o resultado. O desenho e o estimando continuam determinando a interpretação.

4.2 Laboratório: de onde vem o qui-quadrado

Edite as quatro células da tabela abaixo. O laboratório recalcula frequências esperadas, resíduos de Pearson e a contribuição $(O-E)^2/E$ de cada célula. Alterne entre Pearson, Yates e Fisher para ver quando a escolha do procedimento afeta a conclusão.

A barra de contribuição localiza quais células afastam a tabela da independência. O painel também avisa quando os valores esperados tornam a aproximação assintótica sensível.

5. Pressupostos e o que fazer quando falham

Todo teste compra sua calibração com pressupostos. O teste $t$ de uma amostra é exato para observações independentes de uma população normal; no teste pareado, a normalidade se refere às diferenças dentro dos pares; no teste de dois grupos, refere-se aos resíduos dentro de cada grupo. Em amostras grandes, o teorema central do limite pode tornar a inferência sobre a média razoável sob desvios moderados, desde que a variância exista e nenhuma observação domine. Caudas muito pesadas, dependência ou amostragem enviesada não desaparecem por usar a distribuição $t$.

Histogramas, QQ-plots e conhecimento do processo ajudam a avaliar assimetria, caudas e valores influentes. Um teste formal de normalidade não deve funcionar como porteiro automático: em amostras pequenas ele tem pouco poder, e em amostras enormes detecta desvios irrelevantes. A escolha do método deve considerar o estimando, o desenho e a sensibilidade, preferencialmente definidos antes de observar qual alternativa produz o menor p-valor.

O teste $t$ de duas amostras na versão pooled pressupõe, além da normalidade, homogeneidade de variância (homoscedasticity): os dois grupos devem ter variâncias parecidas. Quando essa condição falha, a variância combinada mistura variâncias desiguais e distorce a estatística, e a correção de Welch da Seção 2, que não combina as variâncias e ajusta os graus de liberdade, é a resposta. O qui-quadrado, por sua vez, pressupõe frequências esperadas suficientes, o limite de cerca de $5$ por célula da Seção 4. Cada teste tem a sua condição, e conhecê-la é parte de sabê-lo usar.

Métodos por postos respondem a perguntas próprias. O teste de Mann e Whitney avalia, em uma formulação comum, se uma observação aleatória de um grupo tende a superar uma do outro; sob igualdade de formas, isso pode ser interpretado como deslocamento de localização. Com formas ou dispersões diferentes, não é simplesmente um teste de medianas. O teste de postos sinalizados de Wilcoxon trabalha com diferenças pareadas e usa simetria das diferenças para uma interpretação de localização; o teste dos sinais exige menos estrutura, embora geralmente tenha menos poder.

O teste de permutação também requer uma hipótese: as unidades ou rótulos devem ser permutáveis sob a nula, respeitando pares, blocos, conglomerados e o mecanismo de randomização. Permutar livremente observações dependentes ou grupos com distribuições distintas pode produzir um p-valor inválido. Métodos robustos, bootstrap, modelos de variância e estatísticas estudantizadas ampliam as alternativas. A escolha não é um ritual de testar normalidade e trocar de teste, mas uma decisão sobre a pergunta e sobre quais hipóteses o desenho sustenta.

5.1 Exercícios da Seção 5

1. Que pressuposto o teste $t$ faz, e quando o teorema central do limite o protege?

Solução:

No caso de uma amostra, a distribuição $t$ é exata sob observações independentes e normalmente distribuídas; no pareado, a condição se aplica às diferenças. Em amostras grandes, variância finita e ausência de observações dominantes podem tornar a aproximação razoável sob desvios moderados. O TCL não corrige dependência, seleção ou caudas sem os momentos necessários.

2. Como diagnosticar a normalidade antes de aplicar um teste $t$?

Solução:

O QQ-plot compara quantis empíricos e normais: curvaturas sistemáticas sugerem assimetria ou caudas diferentes, e pontos isolados revelam observações influentes. Ele deve ser lido com histograma, contexto e tamanho amostral. Nenhum gráfico prova normalidade, e um teste formal isolado não deve decidir automaticamente o método.

3. Que pressuposto adicional o teste $t$ pooled de duas amostras faz, e qual a correção quando ele falha?

Solução:

Ele pressupõe homogeneidade de variância: os dois grupos devem ter variâncias populacionais iguais, para que a variância combinada faça sentido. Quando as variâncias diferem, a correção de Welch é a resposta: ela não combina as variâncias, usa o erro padrão baseado nas variâncias separadas e ajusta os graus de liberdade para baixo, protegendo a taxa de erro do tipo I. Welch é hoje o padrão recomendado mesmo quando a igualdade é plausível.

4. Qual teste não paramétrico substitui o $t$ de duas amostras, e como ele funciona?

Solução:

O teste de Mann e Whitney, também chamado Wilcoxon de soma de postos, compara a ordenação dos dois grupos. Ele não exige normalidade, mas exige observações independentes e uma hipótese nula bem definida. Em geral, mede tendência estocástica, não igualdade de médias. A leitura como diferença de medianas ou deslocamento de localização requer distribuições de forma semelhante.

5. Qual o compromisso entre um teste paramétrico e a sua alternativa não paramétrica?

Solução:

Não há uma ordem universal de poder. Sob o modelo normal, o teste $t$ costuma ser eficiente para a diferença de médias. Métodos por postos podem ser mais eficientes em algumas distribuições de cauda pesada, mas testam outro aspecto da distribuição. Permutação é exata ou aproximadamente válida quando há permutabilidade e usa a estatística escolhida. A comparação correta começa pelo estimando e pelas hipóteses, não pelo rótulo paramétrico ou não paramétrico.

6. Testes paramétricos em C++ e no Colab

Implementamos o teste $t$ de duas amostras e o qui-quadrado de independência com p-valores calculados, sem tabelas. O p-valor do $t$ vem da função beta incompleta regularizada $I_x(a,b)$, e o do qui-quadrado, da função gama incompleta regularizada $Q(a,x)$, ambas implementadas por frações contínuas clássicas. O programa reproduz os exemplos das Seções 2 e 4. Compile com g++ -std=c++23 -O2 -Wall -Wextra -Wconversion -Wshadow -pedantic testes.cpp -o testes.

#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <span>
#include <vector>

// Regularized incomplete beta I_x(a,b), by Lentz continued fraction.
double betacf(double a, double b, double x) {
    const double tiny = 1e-300;
    const double qab = a + b, qap = a + 1.0, qam = a - 1.0;
    double c = 1.0, d = 1.0 - qab * x / qap;
    if (std::abs(d) < tiny) d = tiny;
    d = 1.0 / d;
    double h = d;
    for (int m = 1; m < 300; ++m) {
        const double m2 = 2.0 * m;
        double aa = m * (b - m) * x / ((qam + m2) * (a + m2));
        d = 1.0 + aa * d; if (std::abs(d) < tiny) d = tiny;
        c = 1.0 + aa / c; if (std::abs(c) < tiny) c = tiny;
        d = 1.0 / d; h *= d * c;
        aa = -(a + m) * (qab + m) * x / ((a + m2) * (qap + m2));
        d = 1.0 + aa * d; if (std::abs(d) < tiny) d = tiny;
        c = 1.0 + aa / c; if (std::abs(c) < tiny) c = tiny;
        d = 1.0 / d;
        const double del = d * c; h *= del;
        if (std::abs(del - 1.0) < 1e-15) break;
    }
    return h;
}

double betai(double a, double b, double x) {
    if (x <= 0.0) return 0.0;
    if (x >= 1.0) return 1.0;
    const double bt = std::exp(std::lgamma(a + b) - std::lgamma(a) - std::lgamma(b)
                               + a * std::log(x) + b * std::log1p(-x));
    return x < (a + 1.0) / (a + b + 2.0)
        ? bt * betacf(a, b, x) / a
        : 1.0 - bt * betacf(b, a, 1.0 - x) / b;
}

// Regularized upper incomplete gamma Q(a,x), by series or continued fraction.
double gammq(double a, double x) {
    const double gln = std::lgamma(a);
    if (x < a + 1.0) {
        double ap = a, sum = 1.0 / a, del = sum;
        for (int i = 0; i < 300; ++i) {
            ap += 1.0; del *= x / ap; sum += del;
            if (std::abs(del) < std::abs(sum) * 1e-15) break;
        }
        return 1.0 - sum * std::exp(-x + a * std::log(x) - gln);
    }
    const double tiny = 1e-300;
    double b = x + 1.0 - a, c = 1.0 / tiny, d = 1.0 / b, h = d;
    for (int i = 1; i < 300; ++i) {
        const double an = -1.0 * i * (i - a);
        b += 2.0;
        d = an * d + b; if (std::abs(d) < tiny) d = tiny;
        c = b + an / c; if (std::abs(c) < tiny) c = tiny;
        d = 1.0 / d;
        const double del = d * c; h *= del;
        if (std::abs(del - 1.0) < 1e-15) break;
    }
    return std::exp(-x + a * std::log(x) - gln) * h;
}

struct Amostra { double media; double var; std::size_t n; };
Amostra resume(std::span<const double> v) {
    double s = 0.0;
    for (const double x : v) s += x;
    const double m = s / static_cast<double>(v.size());
    double sq = 0.0;
    for (const double x : v) { const double d = x - m; sq += d * d; }
    return { m, sq / static_cast<double>(v.size() - 1), v.size() };
}

int main() {
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(4);

    // Teste t de duas amostras, variancias iguais (pooled).
    const std::vector<double> g1 = {70, 75, 80, 68, 77};
    const std::vector<double> g2 = {66, 71, 76, 64, 73};
    const Amostra a = resume(g1), b = resume(g2);
    const double nA = static_cast<double>(a.n), nB = static_cast<double>(b.n);
    const double gl = nA + nB - 2.0;
    const double sp2 = ((nA - 1.0) * a.var + (nB - 1.0) * b.var) / gl;
    const double t = (a.media - b.media) / std::sqrt(sp2 * (1.0 / nA + 1.0 / nB));
    const double p_t = betai(gl / 2.0, 0.5, gl / (gl + t * t));
    std::cout << "t de duas amostras: t = " << t << ", gl = " << gl
              << ", p = " << p_t << '\n';

    // Qui-quadrado de independencia em uma tabela 2x3.
    const int tab[2][3] = { {30, 20, 10}, {15, 25, 20} };
    double linha[2] = {0, 0}, coluna[3] = {0, 0, 0}, total = 0.0;
    for (int i = 0; i < 2; ++i)
        for (int j = 0; j < 3; ++j) { linha[i] += tab[i][j]; coluna[j] += tab[i][j]; total += tab[i][j]; }
    double chi2 = 0.0;
    for (int i = 0; i < 2; ++i)
        for (int j = 0; j < 3; ++j) {
            const double esp = linha[i] * coluna[j] / total;
            const double dif = tab[i][j] - esp;
            chi2 += dif * dif / esp;
        }
    const double gl_chi = (2 - 1) * (3 - 1);
    const double p_chi = gammq(gl_chi / 2.0, chi2 / 2.0);
    std::cout << "qui-quadrado independencia: chi2 = " << chi2
              << ", gl = " << gl_chi << ", p = " << p_chi << '\n';
}

A saída é

t de duas amostras: t = 1.2778, gl = 8.0000, p = 0.2372
qui-quadrado independencia: chi2 = 8.8889, gl = 2.0000, p = 0.0117

Os dois p-valores reproduzem exatamente os das Seções 2 e 4, calculados aqui por funções especiais implementadas do zero, não por tabelas. No Colab, esses testes são chamadas únicas de scipy.stats: ttest_ind(g1, g2) para o $t$ de duas amostras (com equal_var=False para Welch), ttest_1samp e ttest_rel para os testes de uma amostra e pareado, proportions_ztest do statsmodels para proporções, e chi2_contingency para o qui-quadrado de independência, que devolve estatística, p-valor, graus de liberdade e a tabela de esperados de uma vez.

6.1 Exercícios da Seção 6

1. Por que o p-valor do teste $t$ é calculado pela função beta incompleta, e não pela normal?

Solução:

A distribuição $t$ de Student não é a normal; a sua função de distribuição acumulada se expressa exatamente pela função beta incompleta regularizada $I_x(a,b)$, com $a=\text{gl}/2$, $b=1/2$ e $x=\text{gl}/(\text{gl}+t^2)$. Usar a normal daria o p-valor do teste $z$, incorreto para amostras pequenas por ignorar as caudas mais pesadas da $t$. A beta incompleta captura essas caudas exatamente, para qualquer grau de liberdade.

2. Por que gammq usa série para $x<a+1$ e fração contínua caso contrário?

Solução:

A representação em série da função gama incompleta converge rápido quando $x$ é pequeno em relação a $a$, mas lentamente quando $x$ é grande; a fração contínua tem o comportamento oposto. Escolher a série para $x<a+1$ e a fração contínua para $x\ge a+1$ usa cada representação na região em que converge depressa, garantindo precisão e poucas iterações em todo o domínio. É a estratégia clássica de avaliação da função.

3. Qual a complexidade de tempo do teste $t$ implementado?

Solução:

Resumir cada grupo é $O(n_1+n_2)$, duas passagens lineares para média e variância. As frações contínuas de betai convergem em um número fixo e pequeno de iterações, independente do tamanho da amostra, portanto $O(1)$. O custo total é dominado pelo resumo dos dados, $O(n_1+n_2)$, e o espaço é $O(1)$ além da entrada, graças ao std::span.

4. Como o programa calcularia o teste de aderência do dado da Seção 4?

Solução:

Bastaria somar $(O_i-E_i)^2/E_i$ sobre as seis faces, com $E_i=10$, obtendo $\chi^2=5{,}0$, e chamar gammq(5.0/2.0, 5.0/2.0) para o p-valor com $k-1=5$ graus de liberdade, resultando $\approx0{,}416$. A mesma função gammq serve à aderência e à independência; muda apenas o cálculo da estatística e dos graus de liberdade que entram nela.

5. Por que estas funções especiais são preferíveis a interpolar tabelas impressas?

Solução:

As tabelas dão valores críticos apenas para níveis e graus de liberdade selecionados e não fornecem um p-valor detalhado. Funções especiais calculam uma aproximação numérica controlada para uma faixa muito maior de entradas, permitindo reportar o p-valor e aplicar procedimentos posteriores. Exato descreve a distribuição teórica; a avaliação em ponto flutuante ainda tem erro numérico.

7. Um laboratório para o teste t

O teste $t$ de duas amostras é governado por três grandezas, as médias, os desvios e os tamanhos dos grupos, e ver a estatística e a região de rejeição responderem a elas fixa a intuição. O laboratório abaixo deixa a leitora ajustar médias, desvios e tamanhos de dois grupos e desenha a distribuição $t$ sob a nula, com a região de rejeição sombreada, a estatística $t$ observada marcada e os graus de liberdade e o p-valor exibidos. Presets reproduzem o exemplo do texto e casos de fronteira.

O que o laboratório torna tátil é a interação das três alavancas. Afastar as médias empurra a estatística $t$ para a cauda e reduz o p-valor; aumentar os desvios infla o erro padrão e traz a estatística de volta ao miolo; aumentar os tamanhos estreita a incerteza e aumenta os graus de liberdade, afinando a distribuição $t$ rumo à normal. Ao mover essas alavancas, a leitora reconstrói com os olhos a fórmula $t=(\bar{x}_1-\bar{x}_2)/\sqrt{s_p^2(1/n_1+1/n_2)}$ e entende por que efeito grande e amostra pequena, como no exemplo do texto, podem não bastar para rejeitar a nula.

7.1 Exercícios da Seção 7

1. No preset do texto, por que o p-valor fica acima de $0{,}05$ apesar da diferença de médias?

Solução:

As médias diferem em $4$ (de $70$ para $74$), mas com desvio combinado $\approx4{,}95$ e apenas cinco observações por grupo, o erro padrão da diferença é grande, $\sqrt{24{,}5(2/5)}\approx3{,}13$, e a estatística $t\approx1{,}278$ fica no miolo da distribuição. O p-valor $\approx0{,}237$ reflete o poder insuficiente: a amostra é pequena demais para distinguir um efeito real do acaso.

2. Aumente os tamanhos dos grupos mantendo médias e desvios. O que acontece?

Solução:

O erro padrão da diferença encolhe com $1/\sqrt{n}$, então a estatística $t$ cresce e migra para a cauda, reduzindo o p-valor; simultaneamente, os graus de liberdade aumentam e a distribuição $t$ se aproxima da normal, estreitando as caudas. A mesma diferença de médias, com grupos maiores, passa de não significativa a significativa. É a dependência do poder no tamanho de amostra vista no gráfico.

3. Aumente os desvios dos grupos mantendo médias e tamanhos. Por que o p-valor sobe?

Solução:

Desvios maiores inflam a variância combinada e, com ela, o erro padrão da diferença. A estatística $t$, que é a diferença de médias dividida por esse erro padrão, encolhe e volta ao miolo da distribuição nula, elevando o p-valor. Mais ruído nos dados esconde o mesmo sinal: a significância depende não só da diferença, mas da sua razão com a variabilidade.

4. Aproxime as médias até o p-valor cruzar $0{,}05$. O que a posição da estatística mostra?

Solução:

Conforme as médias se aproximam, a estatística $t$ desliza da cauda para o miolo, e no ponto em que o p-valor cruza $0{,}05$ a estatística coincide com o valor crítico $t_{\text{gl},\,0{,}975}$, a borda da região de rejeição sombreada. A leitora vê que significativo corresponde geometricamente à estatística cair na região sombreada, e que a fronteira $0{,}05$ é uma linha específica nessa distribuição, não um marco absoluto.

5. Como o laboratório ilustra a convergência da distribuição $t$ para a normal?

Solução:

Ao aumentar os tamanhos dos grupos, os graus de liberdade crescem e a distribuição $t$ desenhada estreita as caudas, aproximando-se visivelmente do sino da normal padrão. Para grupos pequenos, a $t$ é nitidamente mais espalhada, com região de rejeição mais afastada do centro; para grupos grandes, ela é quase indistinguível da normal. O laboratório mostra a mesma convergência que a Seção 1 descreveu com os valores críticos.

8. Conclusão

Este artigo apresentou a família paramétrica de testes, a alternativa de fórmula fechada ao teste de permutação. Fomos do teste $z$, que supõe $\sigma$ conhecido, ao teste $t$, que o estima e paga a incerteza com caudas mais pesadas; percorremos os testes $t$ de uma amostra, duas amostras e pareado, vendo como o pareamento compra poder; construímos o teste $z$ de proporções e revelamos a sua identidade $z^2=\chi^2$ com o qui-quadrado; e usamos o qui-quadrado para aderência e independência, sempre atentos ao limite das frequências esperadas. A seção de pressupostos amarrou tudo: cada teste vale sob condições, e verificá-las é parte de aplicá-lo, com o não paramétrico e a permutação como redes de segurança.

O fio a levar adiante nasce de uma tentação perigosa. Cada teste deste artigo responde a uma pergunta. Mas a ciência de dados raramente faz uma pergunta só: compara muitos grupos, testa muitas variáveis, roda muitas versões. E quem faz muitos testes aos mesmos dados acaba encontrando significâncias que são puro acaso, uma para cada vinte perguntas a $\alpha=0{,}05$. O próximo artigo enfrenta esse problema da testagem múltipla, com as correções que controlam a inflação do erro, e apresenta a análise de variância, que compara vários grupos de uma vez sem cair na armadilha das comparações repetidas.

Acrônimos e Abreviações neste artigo

A seguir está a lista de todos os acrônimos e abreviações identificados no texto, organizados em ordem alfabética com o termo original em inglês e a tradução para o português:

Referências

GIOLO, S. R. Introdução à análise de dados categóricos com aplicações. São Paulo: Blucher, 2017.

KAIST. DS 501 Statistical Inference for Data Science. Statistical Data Science, KAIST. Disponível em: https://statds.kaist.ac.kr/courses. Acesso em: 23 jul. 2026.

LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015.

SEMINAR FOR STATISTICS, ETH ZÜRICH. On Hypothesis Testing. Notas de aula de Applied Statistical Regression. Disponível em: https://stat.ethz.ch/lectures/. Acesso em: 23 jul. 2026.

WALPOLE, R. E. et al. Probabilidade e estatística: para engenharia e ciências. 8. ed. São Paulo: Pearson, 2008.